Je me souviens que, gamin, j’ai eu beaucoup de mal à comprendre à quoi pouvait bien servir l’équation d’une droite et sa représentation graphique.

Prenons un exemple aussi illustratif que possible. Judith et Castille décident, pour la fête organisée par leur collège, de vendre des petits bracelets qu’elles ont fabriqués pour leur association.

L’achat des fournitures leur coûte 8€, et elles décident de vendre les bracelets 2€ pièce, tout en se demandant si c’est le bon prix et ce que ça peut rapporter, c’est-à-dire combien il restera dans la caisse à la fin de la fête. Comment bien visualiser tout cela ?

Première solution : construire un tableau

Dans ce tableau on calcule, pour chaque nombre prévisible de bracelets vendus, ce qui restera dans la caisse.

C’est long à faire, surtout si on a un grand nombre de bracelets à vendre.

Deuxième solution : un graphique

On crée un graphique, avec sur un axe horizontal le nombre de bracelets vendus, et sur un axe vertical l’argent qui sera en caisse à la fin de la fête (€).

Faisons un peu d’algèbre, et appelons:

x :  le nombre de bracelets vendus

y :  le gain ou la perte en € à la fin de la fête, ce qui reste en caisse

En construisant le tableau de la première solution, on a compris que y est égal au nombre de bracelets vendus fois 2€, moins les fournitures 8€, ce qui s’écrit :

y = x . 2€ – 8€   ou plus simplement   y = 2x -8

Le gain ou la perte y est une fonction du nombre de bracelets vendus x, ce qui s’écrit y = f(x).

Et voilà notre fonction, dont la forme générale est  y = ax + b , avec ici a = 2 et b = -8  .

Les fonctions de cette forme sont des fonctions dites « affines » qui se traduisent par une droite sur un graphique. Il nous suffit de tracer deux points de cette droite pour l’obtenir.

Par exemple :

Pour x = 0       y = -8

Pour x = 10     y = +12

Ce graphique nous permet de voir des choses intéressantes :

• On lit immédiatement sur le graphique ce qu’on gagne (ou perd) suivant le nombre de bracelets vendus. Par exemple pour x = 7 bracelets , on trouve y = 6€
• Pour ne pas vendre à perte, il faut vendre au moins 4 bracelets : c’est là où la droite coupe l’axe horizontal, c’est-à-dire quand y devient positif
• Et plus compliqué, la pente de la droite est d’autant plus forte que le prix de vente d’un bracelet est élevé, et inversement. A chaque fois que je vends 1 bracelet de plus (x augmente de 1) mon gain augmente de 2€ (y augmente de 2).

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