L’attente d’un bus semble toujours plus longue que prévue. C’est en fait un paradoxe qu’on va expliquer.

Prenons une ligne qui annonce un bus toutes les 10 minutes (10′). En arrivant à l’improviste entre deux bus, mon délai moyen d’attente sera de 10’ / 2 = 5’ , car j’ai autant de chance d’attendre 9’ que 1’ , 8’ que 2’ , 7’ que 3’ et ainsi de suite.

Des bus irréguliers

Mais les passages des bus sont bien sûr irréguliers, même si la moyenne entre 2 bus est toujours de 10’. Prenons par exemple le cas de plusieurs bus qui se suivent à 18′ puis 8′ puis 4′ , soit au total 30′ . Le temps de passage moyen entre 2 bus est toujours de 30′ / 3 = 10′.

Mais qu’en est-il du temps moyen d’attente si j’arrive à l’improviste pendant cette période de 30’? Il sera de 18’/2 = 9′ pendant 18/30e de la période, puis de 8’/2=4′ pendant 8/30^e,  puis de 4’/2=2′ pendant les 4/30e de la période restante, soit :

• 9’ x 18/30 = 5,4’
• 4’ x  8/30 = 1,1’
• 2’ x  4/30 = 0,2’
• Total         = 6,7’ ce qui est bien supérieur aux 5′ attendues.

L’irrégularité augmente le temps d’attente moyen et plus elle est importante, plus le temps d’attente moyen augmente (1). On le voit bien dans le cas improbable où les bus arrivent quasi en même temps à la 30e minute; le calcul devient:

• 15’ x 30/30 = 15’
• 0’ x   0/30 =  0’
• 0’ x  0/30 =  0’
• Total          = 15,0’

Donc le délai d’attente sera toujours plus long que prévu, supérieur aux 5’ attendues, et d’importance croissante avec l’irrégularité des bus.

Loi de Poisson

On va voir maintenant que, quelle que soit cette irrégularité, on peut calculer la probabilité d’avoir un bus dans une période d’attente donnée.

Siméon-Denis Poisson est un mathématicien français qui, en 1837, énonce une loi permettant de calculer la probabilité qu’un événement peu fréquent se produise un certain nombre de fois sur une période donnée. Ces évènements doivent survenir de façon indépendante les uns des autres.

La formule correspondante (2) n’est pas simple à écrire ou à calculer, mais heureusement Excel la calcule facilement avec la commande  « LOI.POISSON.N ».

Prenons un exemple : un réseau ferroviaire constate en moyenne 4 accidents par an. Quelle est la probabilité pour que sur une période de 1 semaine il n’y ait aucun accident ?

• k = 0
• λ= nombre d’accident moyen en une semaine = 4 x 7/365 = 0,0767

Ce qui nous donne avec Excel :  p(0)= 92,6%     (3)

Revenons à notre bus: l’évènement peu fréquent est l’arrivée d’un bus. On veut connaître la probabilité d’avoir son bus si on vient à l’improviste en restant 5’ à attendre.

Ici on a pour T=5’ ,   λ = 0,5 (en moyenne 1 bus toute les 10’).

On calcule facilement avec Excel :

• Aucun bus n’arrive dans la période T : p(0) = 60,7%

• Au moins 1 bus arrive dans la période T : p(k>0) = 100 – 60,7% = 39,3%

On notera que, pour que la probabilité soit au moins de 95%, il faut que T=30’. Décidemment, c’est toujours plus long que prévu!

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1. On lit souvent que ceci est dû au fait qu’en arrivant à l’improviste, on a plus de chance de tomber sur un délai long entre 2 bus. En fait le temps d’attente moyen, lorsqu’on considère un délai total T,  correspond à :
    \frac{1}{2T} . \sum_i a_i^2 où a_i est le délai d’attente du ième bus.
   Chaque a_i influe donc au carré, voilà l’explication plus complète.
2. p(k) =  e^{-\lambda} . {\lambda^k}/{k!}
   où λ est la moyenne des évènements qui arrivent en T,
   et p(k) est la probabilité pour que k évènements (k entier) arrivent dans cette période T.
3. p(0) =  e^{-\lambda} . {\lambda^0}/{0!} = e^{-0,0767} . {1}/{1} = 1/e^{0,0767}= 92,6%.
   Pour mémoire par convention 0 != 1