L’arithmétique est une partie des mathématiques qui étudie notamment les nombres et les 4 opérations élémentaires : l’addition (+) , la soustraction (-) , la multiplication (x) , et la division ( : ou / ).
Un ensemble de lois (appelées théorèmes) s’applique aux calculs, à l’utilisation des 4 opérations. Ces lois se démontrent, certaines paraissant évidentes, d’autres non. Deux exemples :
- Une évidente. La multiplication est commutative, ce qui veut dire qu’on peut la faire dans n’importe quel ordre sans changer le résultat :
j’ai 3 sacs contenant 4 billes chacun, soit au total 3 x 4 = 12 billes
j’ai 4 sacs contenant 3 billes chacun, soit au total 4 x 3 = 12 billes
- Une pas évidente qui fait l’objet de ce billet :
dans un calcul, moins par moins donne plus, (-) x (-) = (+).
Ça se démontre (1) , mais notre objectif ici est de comprendre pourquoi.
Comprendre ce que + et – veulent dire
Le signe (+) veut dire : je gagne, j’ajoute, j’ai.
Le signe (-) veut dire : je perds, j’enlève, je dépense, je dois.
J’ai 10€ dans ma tirelire, j’ai gagné 8€ que j’ajoute, j’ai en tout :
10€ + 8€ = 18€ .
J’ai maintenant 18€ dans ma tirelire, je dépense 5€, je les enlève, il me reste : 18€ – 5€ = 13€
Je multiplie x
Il me reste donc 13€, et je veux acheter 2 bracelets de couleur à 8€, un pour ma petite sœur et un pour moi. En tout ça fait 2 x 8€ = 16€ , je n’ai pas assez d’argent.
Le marchand me laisse quand même partir avec les bracelets, en me précisant bien que je lui dois 3€ . Ce calcul s’écrit en effet:
13€ – (2 x 8€ ) = 13€ – 16€ = – 3€ , – 3€ voulant dire que je dois 3€ au marchand.
Mais finalement il accepte de me faire un rabais de 2€ par bracelet. On doit calculer cette fois-ci : 13€ – 2 x (8€ – 2€) = ?
On peut faire ce calcul de 2 façons :
- Calculer d’abord la partie entre parenthèses ( 8€ – 2€) = 6€ , c’est-à-dire le nouveau coût d’un bracelet. D’où pour finir le calcul:
13€ – 2 x (8€ – 2€) = 13€ -2 x 6€ = 13€ – 12€ = 1€ , il me reste 1€. - Ou développer le calcul , ce qu’on doit savoir faire pour des calculs plus longs:
13€ – 2 x (8€ – 2€) = 13€ -2 x 8€ -2 x (- 2€) = 13€ – 16€ + 4€ = 1€ , où apparaît – 2 x (- 2€) .
Après avoir enlevé le coût initial des deux bracelets, – 16€, il reste à tenir compte des deux rabais de 2€ pour chacun des bracelets, soit 4€ que le marchand me doit puisqu’il m’a offert ce rabais, ce qui fait +4€ pour moi. Voilà pourquoi « moins par moins égal plus ».
D’ailleurs dans le langage courant, on trouve souvent deux négatifs successifs qui valent un positif . Par exemple « je ne dis pas un mensonge » veut dire que je dis la vérité : je ne dis pas (-) un mensonge (-) donc je dis la vérité (+). Ou encore « l’ennemi de mon ennemi est mon ami » : l’ennemi (-) de mon ennemi (-) est mon ami (+).
–oo—oo–
- Partons de : a + (−a) = 0
Multiplions chaque terme par (-1) : (−1) × a + (−1) × (−a) = (−1) × 0 = 0
d’où (−a) + (−1)×(−a) = 0 , donc (-1) x (-a) = a , soit (-) x (-) = +